stelsel

Opgave - BrMO 2 1996 vraag 4

Zij $a,b,c,d$ vier positieve reële getallen zodat $a+b+c+d=12$ en $abcd=27+ab+ac+ad+bc+bd+cd.$
Vind alle mogelijke waarden voor $a,b,c,d$ die voldoen aan deze vergelijkingen.

Oplossing

Uit de opgave vinden we meteen na toepassing van $AM-GM$ dat $\sqrt[4]{abcd}\leq \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{12}{4}=3$.
Nu is $abcd\leq 81$ met gelijkheid wanneer $a=b=c=d$, laat dit resultaat $(A)$ zijn.

We weten vanuit de opgave dat $ab+ac+ad+bc+bd+cd=abcd-27$, dus na het toepassen van $AM-GM$ op de onbekenden $ab$,$ac$,$ad$,$bc$,$bd$ en $cd$, vinden we dat $\sqrt{abcd}\leq \frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}=\frac{abcd-27}{6}$.
Bijgevolg is $6\sqrt{abcd}\leq abcd-27$, ofwel $\left(\sqrt{abcd}-3\right)^2\geq36$. $(B)$
We weten vanuit $(A)$ dat $\sqrt{abcd}\leq 9$ en omdat $a,b,c,d$ allen positief zijn, geldt dat $-3 \le \sqrt{abcd}-3 \leq 6$.
Bijgevolg moet er gelijkheid gelden in $(B)$ en bijgevolg ook in $(A)$ (omdat $\sqrt{abcd}-3=6$ moet gelden), i.e. $a=b=c=d=\sqrt[4]{81}=3$.