stelsel

Opgave - BrMO 1 2004 vraag 1

Los volgend stelsel van vergelijkingen op
$$ab+c+d=3$$
$$bc+d+a=5$$
$$cd+a+b=2$$
$$da+b+c=6$$
met $a,b,c,d$ reële getallen.

Oplossing

Vergelijking 3 van de tweede aftrekken, geeft $(b-d)(c-1) = 3$, dus $b\neq d$. Omdat 2+6 = 3+5, moet $ab+bc+a+c+2d = cd+da+a+2b+c$, dus $(a+c)b+2d = (a+c)d+2b$, dus $(b-d)(a+c-2) = 0$. Omdat $b\neq d$, volgt er dat $a+c = 2$.

Tel nu de eerste twee vergelijkingen op: $8 = b(a+c)+a+c+2d = 2b+2+2d$, dus $b+d = 3$. Uit de eerste vergelijking halen we dan dat $3 = ab+c+d = ab+(2-a)+(3-b)$, dus $ab-a-b = -2$, dus $(a-1)(b-1) = -1$. Analoog halen we uit de derde vergelijking dat $0 = (2-a)(3-b)+a+b-2 = ab-2a-b+4$ en dus dat $(a-1)(b-2) = -2$. Er volgt dat $2(a-1)(b-1) = (a-1)(b-2) = -2 \neq 0$, dus we mogen $a-1$ wegdelen: $2(b-1) = b-2$, i.e., $b = 0$. Uit $b+d = 3$, $(a-1)(b-1) = -1$ en $a+c = 2$ halen we dan dat $(a,b,c,d) = (2,0,0,3)$, en men gaat eenvoudig na dat dit viertal voldoet.

Achteraf gezien was het dus misschien eleganter om niet $c = 2-a$ maar $a = 2-c$ te gebruiken. Inderdaad: uit de eerste vergelijking halen we dan dat $3 = (2-c)b + c + 3-b$ en dus $bc = b+c$. Analoog volgt uit de derde vergelijking dat $bc = b+2c$. Tesamen vinden we dus dat $c = 0$ en dus $b = bc-c = 0$, en dus $\ldots$