stelsel

Zij $(F_n)$ de rij van Fibonacci (met $F_1 = F_2 = 1$ en $F_{n+1} = F_n+F_{n-1}$ voor alle $n\geq 2$). Per inductie toont men aan dat uit de eerste $n-2$ vergelijkingen volgt dat $a_n = F_{n-1}a_2+F_{n-2}a_1$, voor alle $n\geq 3$. Vult men dit in in de laatste twee vergelijkingen, dan hoeven we gewoon het volgende stelsel op te lossen:
$$\left\{\begin{array}{ll} 0 & = (F_{n-1}-1)a_1 + F_na_2 \\ 0 & = (F_{n-2}+1)a_1 +(F_{n-1}-1)a_2\end{array}\right.$$
Als $a_1 = 0$, dan moet $F_na_2 = (F_{n-1}-1)a_2$, en aangezien $F_n = F_{n-1}+F_{n-2} > F_{n-1}-1$, volgt hier uit dat $a_2 = 0$ en dus $a_n = F_{n-1}a_2+F_{n-2}a_1 = 0$, voor alle $n$. We hebben dus een oplossing van het stelsel: $a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0$.

Stel dus vanaf nu $a_1\neq 0$. Het verkregen stelsel impliceert dat $$0 = (F_{n-1}-1)^2a_1+F_n(F_{n-1}-1)a_2 = \left((F_{n-1}-1)^2-F_n(F_{n-2}+1)\right)a_1$$Aangezien $a_1\neq 0$, moet $$\begin{aligned} 0 & = (F_{n-1}-1)^2-F_nF_{n-2}-F_n = \left(F_{n-1}^2-F_nF_{n-2}\right)+1-\left(F_n+2F_{n-1}\right) \\ & = (-1)^n+1-\left(F_{n-1}+F_{n+1}\right)\end{aligned}$$Als $n$ even is, moet $F_{n-1}+F_{n+1} = 2$, hetgeen onmogelijk is. Als $n$ oneven is, moet $F_{n-1}+F_{n+1} = 0$, ook onmogelijk. Geen oplossingen dus.

Enige oplossing blijft dus $a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0$.

Btw, het lemma $F_n^2-F_{n+1}F_{n-1} = (-1)^{n+1}$ kent een mooi bewijs: per inductie is $$\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]^n = \left[\begin{array}{ll} F_{n-1} & F_n \\ F_n & F_{n+1}\end{array}\right]$$Dus is $$(-1)^n = \text{det}(LL) = \text{det}(RL) = F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2.$$