ongelijkheid

Opgave - MEMO 2007 dag 1 vraag 1

Zij $a,b,c,d>0$ met $a+b+c+d = 4$. Bewijs dat $$a^{2}bc+b^{2}cd+c^{2}da+d^{2}ab\le 4.$$

Oplossing

Bekijk de geordende permutatie $(a,b,c,d)\mapsto (w,x,y,z)$ zodat $0$<$w\leq x\leq y\leq z$. zodoende is ook $wxy\leq wxz\leq wyz\leq xyz$. Nu geldt wegens de ordeongelijkheid, omdat $(w,x,y,z)$ en $(wxy,wxz,wyz,xyz)$ gelijk gesorteerd zijn en omdat (a,b,c,d) een willekeurige permutatie is van $(w,x,y,z)$ (noteer $(a,b,c,d)=(\sigma(w),\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z))$):

$$a*abc+b*bcd*c*cda+d*dab=
\sigma
(w) \sigma(wxy)+\sigma (x)\sigma(xyz)+\sigma (y)\sigma(wyz)+\sigma (z)\sigma(wxz) $$
$$\le w*wxy+x*wxz+y*wyz+z*xyz$$

nu is het slechts een kwestie van ontbinden en tweemaal AM-GM:

$w^2xy+x^2wz+y^2wz+z^2xy=(wx+yz)(wy+xz) \leq \frac14(wx+yz+wy+xz)^2$
$=\frac14((w+y)(x+z))^2 \leq \frac14(\frac14(w+x+y+z)^2)^2=4$
$\blacksquare$