USAMO 1985

Vraag 1

Bestaan er $1985$ verschillende natuurlijke getallen zodat de som van hun kwadraten een derdemacht is, en de som van hun derdemachten een kwadraat?

Vraag 2

Vind alle reële wortels van de vergelijking
$$x^4-(2\cdot10^{10}+1)x^2-x+10^{20}+10^{10}-1=0$$
tot vier cijfers na de komma.

Vraag 3

Een viervlak heeft maximum één zijde langer dan $1$. Wat is de maximum totale lengte van de zijden?

Vraag 4

Een graaf heeft $n>2$ toppen. Toon aan dat we twee toppen $A$ en $B$ kunnen vinden zodat minstens $\left\lfloor\frac n2\right\rfloor-1$ van de overige toppen

• ofwel met zowel $A$ als $B$ verbonden zijn,
• ofwel met geen van beide.

Vraag 5

$0\le a_1\le a_2\leq a_3\leq\ldots$ is een onbegrensde rij van natuurlijke getallen. Zij $b_n=m$ als $a_m\ge n > a_{m-1}$ (dus als $m$ de kleinste index is waarvoor $a_m\ge n$). Gegeven dat $a_{19}=85$, bepaal de maximumwaarde van de uitdrukking $$\sum_{i=1}^{19}a_i+ \sum_{j=1}^{85}b_j.$$