IrMO 1995

Dag 1

Vraag 1

Er zitten $n^2$ leerlingen in een klas. Iedere week worden ze verdeeld in $n$ teams van telkens $n$ spelers. Geen twee spelers mogen in meer dan één week in hetzelfde team zitten. Toon aan dat een dergelijke regeling maximum $n+1$ weken kan duren.

Vraag 2

Vind alle gehele getallen $n$ waarvoor de vergelijking
$$x^2+nxy+y^2=1$$
oneindig veel gehele oplossingen $(x,y)$ heeft.

Vraag 3

$X$ ligt op het lijnstuk $AD$. $B$ is een punt in het vlak zodat $\angle ABX>120^\circ$. $C$ is een punt op het lijnstuk $BX$. Toon aan dat
$$AB+BC+CD\leq\frac{2AD}{\sqrt3}.$$

Dag 2

Vraag 1

$X_k$ is het punt op $(k,0)$. Er zijn oorspronkelijk $2n+1$ schijven, allemaal op $X_0$. Een beweging bestaat er in van twee schijven van $X_k$ te nemen en er één te plaatsen op $X_{k-1}$ en de andere op $X_{k+1}$. Toon aan dat welke bewegingen er ook gekozen zijn, na $n(n+1)(2n+1)/6$ bewegingen is er een schijf op $X_k$ voor $|k|\leq n$.

Vraag 2 Opgelost!

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ die voldoen aan
$$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y)$$
voor alle reële $x,y$.

Vraag 3

Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal $n$ geldt dat
$$n^n\leq(n!)^2\leq\left(\frac{(n+1)(n+2)}6\right)^n.$$

Dag 3

Vraag 1

$a,b,c$ zijn complexe getallen. Alle wortels van $z^3+az^2+bz+c=0$ voldoen aan $|z|=1$. Toon aan dat alle wortels van $z^3+|a|z^2+|b|z+|c|=0$ ook voldoen aan $|z|=1$.

Vraag 2 Opgelost!

$S$ is het vierkant $\{(x,y)|0\leq x,y\leq1\}$. Voor iedere $0

Vraag 3

Gegeven punten $P,Q,R$, toon aan hoe je een driehoek $ABC$ kan construeren zodat $P,Q,R$ op $BC,CA,AB$ respectievelijk liggen en $P$ is het midden van $BC$, $CQ/QA=AR/RB=2$. Je mag veronderstellen dat $P,Q,R$ gepositioneerd zijn zodat zo'n driehoek bestaat.

Vraag 4 Opgelost!

Stel $n$ een natuurlijk getal kleiner dan 1995 die het product is van vier verschillende priemgetallen. De positieve delers van $n$ zijn $1=d_1\le d_2\le\ldots\le d_{16}=n$. Toon aan dat $d_9-d_8\neq22$.