IMC 2012
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
We definieren $p(n)$ als het aantal manieren om $n$ te schrijven als de som van positieve getallen $\in \mathbb{N}.$
Bewijs dat $p(n)-p(n-1)$ gelijk is aan het aantal manieren om $n$ te schrijven als een som van positieve getallen $\in \{2,3,4,5\cdots \}.$
Vraag 2
Let n be a fixed positive integer. Determine the smallest possible rank of
an n×n matrix that has zeros along the main diagonal and strictly positive real numbers
off the main diagonal.
Zij $n$ een vast natuurlijk getal.
Bepaal de kleinste rang die een n*n-matrix kan hebben, waarvan alle elementen op de diagonaal gelijk zijn aan nul en strikt positieve reele getallen daarbuiten.
Vraag 4
Zij $f \mathbb R \to \mathbb R$ een continu differentieerbare functie waarvoor geldt dat $f'(t)>f(f(t))$ voor alle $t \in \mathbb R.$
Bewijs dat $f(f(f(t)))\le 0$ voor alle $t>0$.
Vraag 5
Als geldt dat $a \in \mathbb Q$, bewijs dat dan geldt dat
$$ X^{2^{n}}(X+a)^{2^{n}}+1 $$ irreducibel is in $ \mathbb{Q}[X] $ voor iedere natuurlijk getal $n.$
Dag 2
Vraag 1
We beschouwen een polynoom $f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\dots+a_{1}x+a_{0}.$
Albert Einstein en Homer Simpson spelen een spel waarbij ze om hun beurt $1$ v.d. coefficienten $a_0,a_1,\dots,a_{2011}$ een waarde geven. Albert start.
Na $2012$ zetten is het spel gedaan, wanneer alle coefficienten ingevuld zijn.
Homer wil dat $f(x)$ deelbaar is door $m(x)$ en Einstein wint als dit niet zo is.
(a) Wie kan winnen als $ m(x)=x-2012?$
(b) Wat als $ m(x)=x^2+1?$
Vraag 2
Zij $(a_n)_n$een rij gedefinieerd door $a_0=1$ en $a_1=0.5$
en $a_{n+1}=\frac{n a_n^2}{1+(n+1)a_n},\quad\forall n\ge 1. $
Bewijs dat de reeks $ \sum_{k=0}^\infty\frac{a_{k+1}}{a_k} $ convergeert en bepaal de limiet.
Vraag 3
Zijn er $\infty$ veel oplossingen voor $n!+1|(2012n)!$?