IMC 2007
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Zij $f$ een tweedegraadspolynoom met gehele coëfficiënten, waarbij $5|f(k)$ voor alle $k\in\mathbb{Z}$. Toon aan dat alle coëfficiënten van $f$ deelbaar zijn door $5$.
Vraag 2
Zij $n\ge2$ een geheel getal. Wat zijn de maximale en minimale rang van een matrix die elk getal uit $\{1,2,\ldots,n^2\}$ precies één keer bevat?
Vraag 3
Noem een veelterm $P(x_1,x_2,...,x_n)$ goed als er reële $2\times2$ matrices $A_1,...,A_k$ bestaan zodat $$P(x_1,...,x_n)=\det\left(\sum_{i=1}^k x_iA_i \right).$$
Vind alle $k>0$ waarvoor alle homogene tweedegraadsveeltermen in $k$ variabelen goed zijn.
Vraag 4
Zij $G$ eein eindige groep en noteer voor $U,V,W\subseteq G$: $N_{UVW}=\left|\{(x,y,z)|xyz=e\}\right|$. Als $A,B,C$ een partitie van $G$ vormen, bewijs dan dat $N_{ABC}=N_{CBA}$.
Vraag 5
Zij $n>0$ een geheel getal en zij $a_1,...,a_n$ gehele getallen. Stel dat een functie $f\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ voldoet aan $\sum^n_{i=1}f(k+a_i\ell)=0$ voor alle $k,\ell\in\mathbb{Z}$ als $\ell\not=0$. Bewijs dat $f=0$.
Vraag 6
Zij $P(z)$ een veelterm met gehele coëfficiënten. Als $|P(z)|\le2$ voor alle $z\in\mathbb{C}$ met $|z|=1$, hoeveel niet-nul coëfficiënten kan $P(z)$ dan maximaal hebben?
Dag 2
Vraag 1
Zij $f$ een functie zodat voor elke $c>0$, de grafiek van $f$ door een translatie of een rotatie (of samenstellingen hiervan) kan afgebeeld worden op de grafiek van $cf$. Is $f(x)=ax+b$ voor zekere $a,b\in\mathbb{R}$?
Vraag 2
Zij $x,y,z\in\mathbb{Z}$ met $29|x^4+y^4+z^4$. Toon aan dat $29^4|x^4+y^4+z^4$.
Vraag 3
Zij $C$ een compacte (=gesloten & begrensde) deelverzameling van $\mathbb{R}$, en $fC\to C$ een continue, niet-dalende functie. Toon aan dat er een $p\in C$ is met $f(p)=p$.
Vraag 4
Zij $n>1$ een oneven geheel getal, en zij $A$ een $n\times n$ matrix met $a_{ij}=\left\{\begin{array}{ccc} 2 &\text{if } i=j \\ 1 &\text{ if } i-j\equiv\pm2 \pmod n \\ 0 &\text{otherwise}\end{array}\right.$. Bereken $\det A$.
Vraag 5
Gegeven een geheel getal $k>0$, vind het kleinste natuurlijk getal $n_k$ waarvoor er matrices $A_1,...,A_{n_k}$ bestaan die voldoen aan
- $A_1^2=A_2^2=\ldots=A_{n_k}^2=0$,
- $A_iA_j=A_jA_i$ voor $i,j=1...k$,
- $A_1A_2\cdots A_{n_k}\not=0$.
[/]
Vraag 6
Zij $f\not=0$ een veelterm met reële coëfficiënten. Zij $f_{0}, f_{1}, f_{2}, \ldots$ veeltermen gedefinieerd als $f_{0}= f$ and $f_{n+1}= f_{n}+f_{n}'$ voor $n \ge 0$. Toon aan dat er een $N\in\mathbb{N}$ bestaat zodat voor alle $n\ge N$, alle wortels van $f_n$ reëel zijn.
