IMC 1994

Dag 1

Vraag 1

(a) Zij $A\in{\mathbb{R}^+}^{n\times n}$ een symmetrische, inverteerbare matrix met strikt positieve waarden. Toon aan dat $z_n\le n(n-2)$, waarbij $z_n$ het aantal nullen in $A^{-1}$ voorstelt.
(b) Hoeveel nullen zitten er in de inverse van $\left(\begin{array}{cccccc} 1&1&1&1&\cdots&1\\1&2&2&2&\cdots&2\\1&2&1&1&\cdots&1\\1&2&1&2& \cdots&2\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&2&1&2&\cdots
&\cdot\end{array}\right)$?

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Zij $f\in C^1[a,b]$ met $f(a)=0$ zodat $\exists \lambda\in\mathbb{R}^+$ waarvoor $|f'(x)|\le\lambda|f(x)|$ voor alle $x\in[a,b]$. Moet $f(x)$ de nulfunctie zijn op $[a,b]$?