IMOSL 2016

Dag 1

Vraag 1

Zij $a,b,c \in \mathbb R^+$ met $\min(ab,bc,ca) \ge 1$, bewijs dat
$$\sqrt[3]{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} \le \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2 + 1.$$

Vraag 4

Vind alle functies $f \colon (0, +\infty) \rightarrow (0, +\infty)$ waarvoor geldt dat voor elke $x,y\in (0,\infty)$
$$xf(x^2)f(f(y)) + f(yf(x)) = f(xy) \left(f(f(x^2)) + f(f(y^2))\right).$$

Vraag 7

Vind alle functies $f \colon \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ met $f(0) \not=0$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb{R}$ geldt dat
\[ f(x+y)^2 = 2f(x)f(y) + \max \left\{ f(x^2+y^2), f(x^2)+f(y^2) \right\}. \]

Vraag 10

Vind alle $n \in \mathbb N$ zodat het mogelijk is om een rechthoek te vullen met exact alle positieve delers van $n$, onder volgende voorwaarden:

(1) Elk vakje van de rechthoek bevat een verschillende deler van $n$
(2) de som van de getallen in elke rij is gelijk
(3) de som van alle getallen in een kolom is gelijk

Vraag 13

Zij $n \ge 3$ een natuurlijk getal.
Vind het maximale aantal diagonalen van een regelmatige $n$-hoek die je kunt selecteren, zodat elke twee diagonalen niet snijden in het inwendige van de $n$-hoek of loodrecht staan op elkaar.

Vraag 16

Zij $n \in \mathbb N$.
Vind de kleinste $k \in \mathbb N$ zodat het mogelijk is $k$ vakjes van een $2n \times 2n$ bord te markeren, zodat er een unieke partitie van het bord bestaat in $1 \times 2$ domino's waarbij er geen enkele domino twee gemarkeerde vakjes bevat.

Vraag 17

Driehoek $\triangle BCF$ heeft een rechte hoek in $B$.
Zij $A$ het punt op de lijn $CF$ zo dat $|FA|=|FB|$ en $F$ tussen $A$ en $C$ ligt.
We kiezen punt $D$ zo dat $|DA|=|DC|$ en $AC$ de bissectrice van hoek $\angle DAB$ is.
We kiezen punt $E$ zo dat $|AE|=|DE|$ en $AD$ de bissectrice van hoek $\angle EAC$ is.
Zij $M$ het midden van $CF$.
Zij $X$ het punt zo dat $AMXE$ een parallellogram is (waarbij $AM//EX$ en $AE//MX$).

Bewijs dat de lijnen $BD, FX$ en $ME$ concurrent zijn.

Vraag 18

Zij $ABC$ een driehoek met omcirkel $\Gamma$ en incentrum $I$ en zij $M$ het midden van $[BC]$. De punten $D$, $E$, $F$ liggen op de zijden $[BC], [CA], [AB]$ zodat $ID\perp BC$, $IE \perp AI$ en $IF\perp AI$. Veronderstel dat de omcirkel van $\triangle AEF$ $\Gamma$ snijdt in een punt $X$ verschillend van $A$. Bewijs dat de rechten $XD$ en $AM$ snijden op $\Gamma$.

Vraag 20

Zij $ABC$ een driehoek met $AB| = |AC| \neq BC|$ en zij $I$ het incentrum. De rechte $BI$ snijdt $AC$ in $D$ en de rechte door $D$ loodrecht op $AC$ snijdt $AI$ in $E$. Bewijs dat de reflectie van $I$ in $AC$ ligt op de omgeschreven cirkel van $BDE$.

Vraag 24

Zij $A_1, B_1$ en $C_1$ de punten op de zijden $BC$, $CA$ en $AB$ van een scherphoekige driehoek $ABC$ respectievelijk, zodat $AA_1$, $BB_1$ en $CC_1$ de inwendige bissectrices zijn van $\triangle ABC$. Zij $I$ het incentrum van $ABC$, en $H$ het hoogtepunt van $\triangle A_1B_1C_1$. Bewijs dat $$AH + BH + CH \geq AI + BI + CI.$$

Vraag 25

Voor elk natuurlijk getal $k$, noteren we de som van de digits van $k$ in de decimale representatie door $S(k)$.
Vind alle polynomen $P(x) \in \mathbb Z[x]$ zodat voor elk natuurlijk getal $n \ge 2016$ geldt dat $P(n)$ positief is en $$S(P(n)) = P(S(n)).$$

Vraag 28

Zij $n, m, k$ en $l$ natuurlijke getallen met $n \neq 1$ zodat $n^k + mn^l + 1$ een deler is van $n^{k+l} - 1$. Bewijs dat

  • $m = 1$ en $l = 2k$; of
  • $l|k$ en $m = \frac{n^{k-l}-1}{n^l-1}$.

Vraag 30

Vind alle functies $f \colon \mathbb N_{>0} \rightarrow \mathbb N_{>0}$ zodat voor elke $m,n \in \mathbb N_{>0}$ geldt dat $f(m)+f(n)-mn$ niet gelijk is aan nul en een deler van $mf(m)+nf(n)$.

Vraag 32

Vind alle veeltermen $P(x) \in \mathbb Z[x]$ van oneven graad $d$ met de volgende eigenschap;
Voor elke $n \in \mathbb N$ bestaan er $n$ natuurlijke getallen groter dan nul $x_1, x_2, \ldots, x_n$ zodat $\frac12 < \frac{P(x_i)}{P(x_j)} < 2$ en $\frac{P(x_i)}{P(x_j)}$ is een $d^{de}$ macht van een positief rationaal getal voor elk paar indices $1 \le i,j \le n$.