de nationale olympiade 2005

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a,b,c$ drie positieve reële getallen. Bewijs dat
$$\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca\right)^2\geq(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right).$$

Vraag 3

Vind alle $\alpha, \beta >0$ zodat geldt $\forall x_1,x_2,\cdots, x_n,y_1,\cdots, y_n >0$ dat $(\sum x_{i}^\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}(\sum y_{i}^\beta)^{\frac{1}{\beta}}{\geq\sum x_{i}y_{i}$

Vraag 5

$a,b,c\in \mathbb R$
$\frac{1}{a^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+1}=2$
TB: $ab+bc+ac \le 1.5$