IMO 1995

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Beschouw $A, B, C, D$ vier verschillende punten op een lijn, in die volgorde. De cirkels met diameter $AC$ en $BD$ snijden elkaar in $X$ en $Y$. De lijn $XY$ snijdt $BC$ in $Z$. Beschouw $P$ een punt op $XY$ zodat $P \neq Z$. De lijn $CP$ snijdt de cirkel met diameter $AC$ in $C$ en $M$, en de lijn $BP$ snijdt de cirkel met diameter $BD$ in $B$ en $N$. Bewijs dat $AM, DN, XY$ concurrent zijn.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $a,b,c>0$ met $abc=1.$
Bewijs dat $$ \frac{1}{a^3(b+c)}+ \frac{1}{b^3(a+c)}+ \frac{1}{c^3(b+a)}\ge 1.5$$

Dag 2

Vraag 3

Zij $p$ een oneven priemgetal. Bepaal het aantal deelverzamelingen A van
de verzameling $\{1,2,\cdots 2p\}$ waarvoor geldt:
(1) $A$ bevat precies $p$ elementen;
(2) de som van alle elementen in $A$ is deelbaar door $p.$