APMO 2018

Dag 1

Vraag 1

Zij $H$ het hoogtepunt van driehoek $ABC$. Zij $M$ en $N$ de midddens van de zijden $AB$ en $AC$, resp. Veronderstel dat $H$ in de vierhoek $BMNC$ ligt en de omcirkel van driehoeken $BMH$ en $CNH$ elkaar raken. De rechte door $H$ parallel aan $BC$ snijdt de omcirkels van driehoeken $BMH$ en $CNH$ in de punten $K$ en $L$, resp. Zij $F$ het snijpunt van $MK$ en $NL$ en zij $J$ het incentrum van driehoek $MHN$. Bewijs dat $|F J =| F A|$.

Vraag 2

zij $f(x)$ en $g(x)$ gegeven door
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-4} + \cdots + \frac{1}{x-2018}$
$g(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \cdots + \frac{1}{x-2017}$.

Bewijs dat $|f(x)-g(x)| >2$ voor elke niet-gehele $x \in \mathbb R$ die voldoet aan $0 < x < 2018$.

Vraag 5

Vind alle veeltermen $P(x) \in \mathbb Z [x]$ zodat voor alle reële getallen $s,t$ geldt dat als $P(s)$ en $P(t)$ beide geheel zijn, zo ook $P(st).$