APMO 1995
Vraag 1
Bepaal alle rijen van reële getallen $a_1,a_2,...,a_{1995}$ die voldoen aan:
$$2\sqrt{a_n-(n-1)}\geq a_{n+1}-(n-1)$$
met $n$ een natuurlijk getal verschillend van 0, en
$$2\sqrt{a_{1995}-1994}\geq a_1+1.$$
Vraag 2
Zij $a_1,a_2,...,a_n$ een rij van van natuurlijke getallen met waarden tussen 2 en 1995 zodat:
(i) Elke twee van de $a_i$'s zijn relatief priem,
(ii) Iedere $a_i$ is priem of een product van priemgetallen.
Bepaal de kleinst mogelijke waarde voor $n$ om zeker te zijn dat de rij een priemgetal bevat.
Vraag 3
Zij $PQRS$ een vierhoek ingeschreven in een cirkel, zodat de lijnstukken $PQ$ en $RS$ niet parallel zijn. Beschouw de verzameling van cirkels door $P$ en $Q$ en de verzameling van cirkels door $R$ en $S$. Bepaal de verzameling $A$ van raakpunten van de cirkels uit deze twee verzamelingen.
Vraag 4
Zij $C$ een cirkel met straal $R$ en midden $O$, en $S$ een vast inwendig punt van $C$. Zij $AA'$ en $BB'$ loodrecht staande koorden door $S$. Beschouw de rechthoeken $SAMB, SBN'A', SA'M'B', SB'NA$. Vind de verzameling van alle punten $M,N',M',N$ wanneer $A$ rond de hele cirkel beweegt.
Vraag 5
Vind het kleinste natuurlijk getal $k$ zodat er een functie $f\mathbb Z\rightarrow \{1,2,...,k\}$ met de eigenschap dat $f(x)\neq f(y)$ als $|x-y|\in \{5,7,12\}$.