PUMA 2010

Vraag 1 Opgelost!

Jan gaat op Erasmus en neemt uiteraard een grote bierbak mee, waar $6\times 8$ flesjes in passen. Jan wil $k$ flesjes in deze bierbak plaatsen, zodat op elke rij en elke kolom een even aantal flesjes staan. Bepaal alle getallen $k$ waarvoor dit mogelijk is.

Een flesje in een bierbak staat altijd op hoogstens één van de voorziene $48$ posities, op elk van de $48$ posities kan hoogstens één flesje staan. Flesjes mogen voor deze opgave niet worden gebroken, platgelegd, vervormd of opeengestapeld.

Vraag 2 Opgelost!

Bereken $\lim_{x \rightarrow 0} \left(\cos{x}\right)^{\cot{2x}}$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $S$ een verzameling met $n$ elementen, en kies een vast getal $k \in \mathbb{N}\backslash\left\{0\right\}$. Hoeveel $k$-tallen $(T_1,\ldots,T_k)$ van deelverzamelingen $T_i\subseteq S$ zijn er zodat $T_1 \subseteq T_2 \subseteq \ldots \subseteq T_k$?

Om triviale herformuleringen van de opgave te vermijden mag in het antwoord enkel gebruik gemaakt worden van optelling, aftrekking, vermenigvulding, deling, machtsverheffing, worteltrekking, combinaties, faculteiten en gevalstudies. Uiteraard mogen (en moeten) deze uitdrukkingen $k$ en $n$ bevatten. Recursieve antwoorden of herformuleringen van de opgave worden niet goedgekeurd.

Vraag 4 Opgelost!

Pál Erdös bewees in 1932 het zogenaamde postulaat van Bertrand, dit is de volgende bewering:

"voor ieder natuurlijk getal $n>1$ ligt er minstens één priemgetal tussen $n$ en $2n$".

Je mag deze stelling zonder bewijs aannemen. Gebruik nu het postulaat van Bertrand om volgende stelling te bewijzen: "Voor elke $k \in \mathbb{N}$ kan de verzameling $\left\{1,2,\ldots, 2k-1, 2k \right\}$ opgedeeld worden in $k$ paren, waarvan de som telkens een priemgetal is."

Voor $k=4$ krijgen we bijvoorbeeld $\left\{1,6\right\}, \ \left\{2,3\right\},\ \left\{4,7 \right\}$ en $\left\{5,8 \right\}$.

Vraag 5 Opgelost!

Zij $A = (a_{ij})_{1\le i,j\le n}$ een $n\times n$ matrix met determinant gelijk aan $1$. Zij $B = (a_{ij}+1)_{1\le i,j\le n}$ de matrix bekomen door alle entries van $A$ met $1$ te verhogen. Toon aan dat $$\det B=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(A^{-1})_{ij}.$$

Vraag 6 Opgelost!

Zijn $A_1, \ldots, A_n$ twee aan twee verschillende deelverzamelingen van $\{1,2,\ldots,n\}$. Bewijs dat er een element $x \in \{1,2,\ldots, n\}$ is zodat de verzamelingen $A_i \setminus\{x\}$ allemaal verschillend zijn.