stelsel

Merk ten eerste op dat $x+y+z \ge 9$ wegens AM-GM: $xyz = x^2+y^2+z^2 \ge 3(xyz)^{\frac{2}{3}}$ dus $xyz \ge 27$. Dit betekent navenant dat $x+y+z \ge 3(xyz)^{\frac{1}{3}} \ge 9$.

Stel $k=x+y+z $.
We hebben wegens Cauchy-Schwarz dat
$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1) \ge (x+y+z)^2 = k^2$ en dus gecombineerd met de tweede gelijkheid dat $xyz= (x^2+y^2+z^2) \ge \frac{k^2}{3}$.
Ook geldt er dat $x+y+z = x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz \ge k^2$
En nu hebben we dat $k^2 \le x+y+z =k$ wat tegenspraak oplevert (daar $k \ge 9$).