laatste drie cijfers

We weten dat $(2003)^{2002^{2001}}=(2000+3)^{2002^{2001}}$. Omdat we enkel geïnteresseerd zijn in de laatste 3 cijfers volstaat het door het binomium van Newton om de term $3^{2002^{2001}}$ te checken, vermits de andere termen deelbaar zijn door $1000$.
Nu kunnen we hetzelfde doen met de exponent:
\[(2002)^{2001}=(2000+2)^{2001}=2000^{2001}+2\cdot {{2001}\choose{1}}\cdot 2000^{2000}+\dots+2^{2001}\]

Volgens de stelling van Euler is $3^{\varphi (1000)}\equiv 1\bmod 1000$, met $\varphi(1000)=\varphi (2^3\cdot 5^3)=2^2\cdot 5^2 \cdot 4 = 400$.

Vermits elke term in de som van de exponent deelbaar is door $400$ behalve de laatste, moeten we nu enkel op zoek gaan naar $3^{2^{2001}}\bmod 1000.$

Nu is het interessant om te weten dat $2^4 \cdot 2^{1997}\equiv 2^4 \cdot {x \bmod 400} \Leftarrow 2^{1997}\equiv x \bmod 25 $. $\varphi(25)=5\cdot 4=20$ en dus is $2^{1997}\equiv {2^{17} \bmod 25}.$ ${2^{17}\bmod 25}\equiv {2^{10}\cdot 2^4\cdot 2^3
\bmod 25}\equiv {(-1)\cdot (-9)\cdot 8\bmod 25}\equiv {72 \bmod 25}\equiv {22\bmod 25}.$ En zo bekomen we dus dat $2^4\cdot2^{1997}=2^{2001}\equiv {2^4\cdot 22 \bmod 400}\equiv {352\bmod 400}.$

Nu moeten we enkel de laatste 3 cijfers van $3^{352}$vinden en we zijn klaar. Merk op dat $3^{352}=(10-1)^{176}=10^{176}-10^{175}\cdot {176\choose 1}+\dots+10^2\cdot{176\choose 174}-10\cdot 176+1.$ Voor de laatste drie cijfers werken we nu enkel de laatste drie termen uit, dit geeft: $100\cdot 88\cdot175-1759\equiv 100\cdot 8 \cdot 5-759\equiv 1000-759=241 \bmod 1000$

Omdat de linkerterm van de som eindigt op drie nullen zijn de laatste drie cijfers van $2003^{2002^{2001}}$ de cijfers van de rechterterm van de som, namelijk $241.$