functievergelijking
Opgave - VWO 2002 vraag 2
Bepaal alle functies $f\mathbb{R}_0\rightarrow\mathbb{R}$ zodat voor alle x geldt: $$x\cdot f\left(\frac x2\right)-f\left(\frac2x\right)=1.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
Voeren we een substitutie uit: $x=\frac4x$ zodat we volgend stelsel bekomen:
$$\begin{cases}xf\left(\frac{x}{2}\right) -f\left(\frac{2}{x}\right)=1\\ \frac4x f\left(\frac{2}{x}\right) -f\left(\frac{x}{2}\right)=1\end{cases}$$
waaruit
$$\begin{cases}f\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{4+x}{3x} \\
f\left(\frac{2}{x}\right)=\frac13+\frac{x}{3}
\end{cases}$$
en dus $f(x)=\frac{2+x}{3x}$