kubus

Opgave - VWO 2002 vraag 1

Is het mogelijk de hoekpunten van een kubus te nummeren van $1$ tot $8$, zodat de sommen van de getallen op elke ribbe allemaal verschillend zijn? Bewijs je antwoord.

Oplossing

Nee. Eerst en vooral zien we dat de som van alle ribben moet $3(1+...+8)=108$ zijn. Er zijn $12$ ribben, $13$ mogelijke waarden voor de ribbesom, en als je alle ribbesommen samentelt heb je $117$, dus alle sommen behalve $9$ komen voor.

Echter, om $3$ te bereiken moet $1$ aan $2$ grensen, om $4$ te bereiken moet $1$ aan $3$ grenzen, om $5$ te bereiken moet $1$ aan $4$ grenzen (daar $2$ niet aan $3$ grenst), en om $6$ te bereiken kom je in de problemen, strijdigheid.