dertien vogeltjes

Veronderstel uit het ongerijmde dat er minder dan $6$ volgens op een zelfde cirkel liggen:

Beschouw vier vogels $v_1,v_2,v_3,v_4$ die niet op dezelfde cirkel liggen. Beschouw dan de cirkels $C_1,C_2,C_3,C_4$ die telkens drie van de vier vogels bevatten. Als we de andere 9 vogels bekijken, hebben we gegeven dat ieder van die vogels minstens op $1$ van de vier cirkels moet liggen. Wegens het duivenhokprincipe is er dus minstens $1$ cirkel met $6$ vogels op.

Nu het tweede deel: ik beweer dat er $12$ vogels op één cirkel zitten, namelijk op $C_1$. Stel dat dit niet zo is, en dat er dus (minstens) twee vogels bestaan, zeg $v_{12}$ en $v_{13}$, die niet op $C_1$ zitten.
We weten al dat $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6$ op $C_1$ zitten. Beschouw nu de verzameling $(v_1,v_2,v_3,v_{11},v_{12})$. Vier van deze zitten op dezelfde cirkel, maar dit kunnen nooit $v_1,v_2,v_3$ alle drie tegelijk zijn, want dan ligt $v_{11}$ of $v_{12}$ op $C_1$. Dus we mogen wlog stellen dat $(v_1,v_2,v_{12},v_{13})$ op één cirkel liggen. Analoog vinden we dat $(v_3,v_4,v_{12},v_{13})$ op één cirkel liggen en $(v_5,v_6,v_{12},v_{13})$ op één cirkel liggen.
Beschouw nu de verzameling $(v_1,v_3,v_5,v_{12},v_{13})$. Met hetzelfde bovenstaande argument, kunnen we wlog stellen dat $(v_1,v_3,v_{12},v_{13})$ op één cirkel liggen. Maar $(v_1,v_2,v_{12},v_{13})$ liggen ook op één cirkel, en de verzamelingen hebben drie punten gemeen, dus we spreken hier over dezelfde cirkel, namelijk $C_1$! Ons veronderstelde is dus fout, er bestaat wel degelijk een cirkel met $12$ aalscholvers op, en dat is ook het maximum, want die laatste vogel kan altijd degene zijn van vijf vogels die niet op dezelfde cirkel zit.

oef! :)