oppervlakte
Opgave - VWO 1997 vraag 3
Neem $\ell>0$. Beschouw de gelijkbenige driehoek $\triangle_1=oa_1b_1$, met tophoek $\angle a_1ob_1 = 36^\circ$ en 2 zijden van lengte $\ell$. Op de lijn $ob_1$ nemen we een punt $a_2$ met $|oa_2|=|a_1b_1|$ en we construeren aan de buitenkant van $\triangle_1$een tweede gelijkbenige driehoek met tophoek $\angle a_2ob_2=36^\circ$. Zo gaan we in dezelfde richting cirkelsgewijs verder. Toon aan dat de oppervlakte van alle driehoeken samen niet groter is dan die van een gelijkbenige driehoek met tophoek $108^\circ$ en beenlengte $\ell$.
- login om te reageren
Oplossing
We kunnen de driehoeken ook herschikken als volgt:
Hierbij zijn de rode hoeken $72^\circ$ en de groene $36^\circ$.
Het is duidelijk dat we dit proces kunnen verderzetten tot in het oneindige omdat het zich steeds herhaalt.
$72+72+36=180$ zodat de lijnen doorlopend zijn, dus de driehoekjes vormen in de limiet een gelijkbenige driehoek met beenlengte $l$ en tophoek $72^\circ+36^\circ=108^\circ$.
Dit bewijst het te bewijzen.