curven

We vervangen $y^2$ door $\frac{1}{x^2}$ en vullen dat in in de eerste vergelijking. Dan bekomen we:
$x^2+\frac{1}{x^2}=r^2$
$\Leftrightarrow x^4-r^2x^2+1=0$ ($x\not =0$)

Zij nu $x^2=z$
$\Rightarrow z^2-r^2z+1=0$
$D=r^4-4$

Als $r<\sqrt{2} \Rightarrow D<0$ dus dan zijn er geen snijpunten.

Als $r=\sqrt{2} \Rightarrow D=0 \Rightarrow x= \pm 1$ en $y=\pm 1$ De cirkel raakt aan de hyperbool in de punten ${(1,1);(1,-1);(-1,1);(-1,-1)}$ en is dus een vierkant.

Als $r>\sqrt{2} \Rightarrow D>0$ en merk op dat $r^2>\sqrt{D}$, zodat beide wortels van $z$ positief zijn.
$z_{1,2}=\frac{r^2\pm \sqrt{D}}{2}$
$\Rightarrow x= \pm \sqrt{\frac{r^2\pm \sqrt{D}}{2}}$ Zodat er in elk kwadrant twee snijpunten zijn, en in totaal dus acht.

(a) We bekijken nu het eerste kwadrant (de hele figuur is symmetrisch, dus dat is voldoende). We zagen net dat $x$ twee positieve wortels heeft, noem ze $x_1$ en $x_2$ met $x_1>x_2$. Het is niet moeilijk om in te zien dat de snijpunten $(x_1,x_2)$ en $(x_2,x_1)$ als coördinaat hebben (figuur is symmetrisch t.o.v. eerste bissectrice). Als we een tekening maken, zullen we duidelijk zien dat de figuur een vierkant is met een hoek eraf. We stellen vast dat de oppervlakte gelijk is aan $x_1^2-\frac{(x_1-x_2)^2}{2}$
De totale oppervlakte van de figuur is dus gelijk aan
$f(r)=4* opp_{1 kwadrant}=4(x_1^2-\frac{(x_1-x_2)^2}{2})$
Na uitwerken geeft dit dat $f(r)= 2\sqrt{r^4-4}+4$

(b) Als $r= \sqrt{2}$ is $F_r$ een vierkant dus regelmatig. Als $r>\sqrt{2}$ is het logisch dat de hoeken van $F_r$ gelijk zijn, en de zijden zijn gelijk als $(2x_2)^2= (x_1-x_2)^2+(x_1-x_2)^2$. Na uitwerken geeft dit $r=\sqrt[4]{8}$
$\blacksquare$