volkomen kwadraat

Aangezien $25=5^2$ en $1225=35^2$ vermoeden we dat er geldt dat $33...335 ^2=11..1122...2225$. We bewijzen dit nu.

Werkelijke oplossing:

Zij $n=\frac{10^{1998}+5}{3}=\underbrace{33...33}_{1997}5$. Dan is $$n^2=\frac{10^{3996}+10^{1999}+25}{9}= \frac{10^{3996}-1}{9} +\frac{10^{1999}-1}{9} +\frac{25+1+1}{9}.$$ Dus $$ n^2 = \underbrace{111...11}_{3996}+\underbrace{11...11}_{1999}+3 =\underbrace{111...11}_{1997}\underbrace{22...22}_{1998}5,$$ wat betekent dat dit getal inderdaad een volkomen kwadraat is.