volkomen kwadraten

Opgave - JBaMO 1997 vraag 5

Zij $n_1,n_2,...n_{1998}$ natuurlijke getallen die voldoen aan
$$n_1^2+n_2^2+\cdots+n_{1997}^2=n_{1998}^2.$$
Toon aan dat op zijn minst twee van deze getallen even zijn.

Oplossing

Hahaha :grin:

Stel dat ze allemaal oneven zijn, dan zou $LHS \equiv 1997 \equiv 5 \mod{8}$, maar $RHS \equiv 1\mod{8}$. Contradictie.
Stel dat er exact eentje even is, dan is dat ofwel $n_{1998}$, ofwel een getalleke in het linkerlid. Als het $n_{1998}$ is, dan zouden $n_1, n_2, \cdots, n_{1997}$ allemaal oneven zijn en dus zou $LHS \equiv 1997 \equiv 1\mod{2}$, in tegenspraak met $RHS \equiv 0\mod{2}$. Stel dus dat er een getalletje links (i.e., een getal uit $\{n_1,n_2,\cdots,n_{1997}\}$) even is, dan zou $LHS \equiv 1996 \equiv 0 \mod{2}$, maar dan zou $n_{1998}$ even zijn, in tegenspraak met het feit dat er exact eentje even zou zijn.