functie van k

Opgave - JBaMO 1997 vraag 2

Zij $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=k$. Druk volgende expressie uit in functie van $k$:
$$\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}-\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}.$$

Oplossing

Duidelijk is $$k = \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}+\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = \frac{(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} = \frac{2(x^4+y^4)}{x^4-y^4}= l.$$Analoog toont men aan dat $$\frac{l}{2}+\frac{2}{l} = \frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}+\frac{x^4-y^4}{x^4+y^4} = \frac{2(x^8+y^8)}{x^8-y^8},$$zodat $$\begin{aligned} \frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}-\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8} & = \frac{\frac{l}{2}+\frac{2}{l}}{2} - \frac{1}{\frac{\frac{l}{2}+\frac{2}{l}}{2}} = \frac{l^2+4}{4l} - \frac{4l}{l^2+4} = \frac{(l^2+4)^2-16l^2}{4l(l^2+4)} \\ & = \frac{(l^2-4)^2}{4l(l^2+4)} = \frac{(k^2-4)^2}{4k(k^2+4)}.\end{aligned}$$