ongelijkheid

Als $x>0$ en $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ dan is $f''(x)=\frac{(1-n)x^\frac{1-2n}{n}}{n^2}\le0$ omdat $n\ge2$, de functie is dus concaaf.

Schrijven we $M=a_1-a_2+a_3-...-a_{2n}+a_{2n+1},$ dan geldt dat $$(a_{2n+1},....,a_3,a_1) \succ (a_{2n},...,M,...a_4,a_2).$$
Bewijsje hiervoor: $$a_{2n+1}+...+a_3+a_1=M+a_{2n}+...+a_4+a_2$$ volgt uit de definitie van $M$ dat $$a_{2n+1}+a_{2n-1}+...+a_{2i+1}>a_{2n}+a_{2n-2}+...+a_{2i-2}$$ wegens het gegeven en dus geldt dat de som van de eerste $i$ elementen uit de linkerverzameling $\ge$ som van de eerste $i$ elementen uit de rechterverzameling.

Met de Karamata-majorisatie-ongelijkheid geldt dat $$f(a_{2n+1})+...+f(a_3)+f(a_1)\le f(a_{2n})+...+f(M)+...+f(a_4)+f(a_2)$$
Dit is strikt omdat de elementen van $(a_i)$ strikt verschillen en de functie $f(x)= \sqrt[n]{x}$ strikt concaaf is voor $x>0$. Aan beide kanten $$f(a_{2n})+f(a_{2n-2})+...+f(a_4)+f(a_2)$$ aftrekken, geeft het gevraagde.