ongelijkheid

Opgave - BaMO 1992 vraag 2

Bewijs: $\forall\ n\in\mathbb N(2n^2+3n+1)^n\geq6^nn!n!$.

Oplossing

Voor $n=1, \ldots ,5$ controleren we eenvoudig de juistheid van de uitspraak. Voor $n \geq 6$ beginnen we met een lemma.

Lemma 1 Als $n \geq 6$ een natuurlijk getal is, dan geldt
$$ \left( \frac{n}{2} \right)^{n} > n! . $$

Bewijs. Met volledige inductie. Als $n=6$ hebben we $729 > 720$ en deze uitspraak is waar. We nemen nu aan dat de formule geldt voor $n$ en we bewijzen de formule dan voor $n+1$.
Omdat $ a_n = \left( \frac{1}{n} + 1 \right)^{n} $ een stijgende rij is (merk op dat voor deze rij bovendien geldt dat $a_n \rightarrow e$) en $a_2 > 2 $, zal dus $$ \left( \frac{1}{n} + 1 \right) ^{n} \geq 2 $$ voor $n > 2$.
Er geldt dus ook $ (n+1)^{n} \geq 2 \cdot n^n $.
Samen met voorgaande volgt dan
$$\begin{eqnarray*}
\left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1} & = & \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n} \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) \\
& \geq & 2 \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^{n} \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) \\
& \stackrel{\mathrm{I.H.}}> & 2 \cdot n! \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right) \\
& = & (n+1)! .
\end{eqnarray*}$$
Hieruit halen we meteen het gevraagde. $\Box$
Voor $n \geq 6$ hebben we dan
$$\begin{eqnarray*}
6^n \cdot n! \cdot n! & < & 6^n \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^{n} \cdot \left( \frac{n}{2} \right)^{n} \\
& = & \left( \frac{3}{2} n^2 \right)^n .
\end{eqnarray*}$$
Uit de ongelijkheid $n^2 + 6n + 2 \geq 0$ die voor alle natuurlijke $n$ geldt, volgt $2n^2 + 3n +1 \geq \frac{3}{2}n^2$.
Nu geldt
$$ 6^n \cdot n! \cdot n! < (2n^2 + 3n +1)^n $$
voor $n \geq 6$.
Omdat bij $n=0,1$ gelijkheid optreedt, geldt
$$ (2n^2 + 3n +1)^n \geq 6^n \cdot n! \cdot n! . $$
voor $n \in \mathbb{N}$. $\blacksquare$

Alternatief: herschrijf de ongelijkheid als $$\left(\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6}\right)^n \geq \left(n!\right)^2$$ of nog $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6n} \geq \sqrt[n]{n^2}.$$ Maar nu staat er gewoon dat $$\frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n} \geq \sqrt[n]{1^2 \cdot 2^2 \cdot \cdots \cdot n^2}$$ en dat is AM-GM.