veelterm met gehele coëfficiënten
Opgave - IMC 2007 dag 1 vraag 1
Zij $f$ een tweedegraadspolynoom met gehele coëfficiënten, waarbij $5|f(k)$ voor alle $k\in\mathbb{Z}$. Toon aan dat alle coëfficiënten van $f$ deelbaar zijn door $5$.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $f(x)=ax^2+bx+c$.
Stel vervolgens $k=0$, dan $5 | f(0)$ dus $5|c$.
Neem dan $k=1$, dan moet $5|a+b+c$, dus $5|a+b$(1).
Neem dan ook $k=-1$ zodat $5|a-b+c$, dus $5|a-b$(2).
Uit (1) en (2): $5| a+b+a-b=2a$ Dus $5|a$ en bijgevolg ook $5|b$.