continu, monotoon en surjectief

1: niet waar, beschouw de functie
$f(x)=x+2cos(x)$
Aangezien x en cos(x) continue functies zijn en de som van 2 continue functies continu is, is deze functie ook continu.
Voor de surjectieviteit geldt:
Neem $y\in R$. Er geldt:
$f(y-2)= y-2+2cos(y-2)\leq y-2+2=y\leq y+2+2cos(y+2)=f(y+2)$
en dus:
$f(y-2)\leq y\leq f(y+2)$
En dus geldt ook, wegens de tussenwaarde stelling:
$\exists u\in ]y-2,y+2[ y=f(u)$
We hebben dus bewezen dat deze functie surjectief is.
Nu geldt ook:
$\frac{d}{dx}f(x)=1-2sin(x)$
en deze functie is groter dan 0 voor x=0 en kleiner dan 0 voor $x=\frac{3\pi}{2}$.
Deze functie is dus niet monotoon.
2:We stellen dat de functie monotoon stijgend is. Het bewijs voor een monotoon dalende functie is analoog.
Een functie is continu als en slechts als:
$\forall x\in R \forall \epsilon>0\exists \delta\in R\forall y\in R\left\| x-y\right\| < \delta\Rightarrow \left\|f(y)-f(x)\right\| < \epsilon$
aangezien het domein R is, geldt dat:
$\forall x\in R, \exists y\in R f(x)=y$
Kies nu $\epsilon>0$.
Wegens de surjectiviteit geldt:
$\exists u\in R f(u)=f(x)+\epsilon$
$\exists u'\in R f(u')=f(x)-\epsilon$
Kies nu $\delta=min(u-x,x-u')$. Dan geldt de voorwaarde voor de continuiteit, aangezien $f$ monotoon is.
3: niet waar: beschouw de functie:
$f(x)=e^{x}$
deze functie is duidelijk continu en monotoon stijgend, maar:
$\forall x\leq 0 \neg(\exists y\in R x=f(y))$
en dus is deze functie niet surjectief