nulfunctie?

Stel dat $f$ niet de nulfunctie is. Dan bestaat er een interval met beginpunt $a$ waarin de functie stijgend of dalend is. Stel dat die hier stijgend is. Het dalend geval gaat analoog.

Neem in dit interval een punt $c$. Dan geldt wegens de middelwaardestelling van Lagrange, dat er een $d$ bestaat tussen $a$ en $c$ zodat $f'(d)=\frac{f(c)}{c-a}$. Maar $f'(d) \leq \lambda f(d)$ en $f(d) \leq f(c)$. Dus moet $\frac{f(c)}{c-a} \leq \lambda f(c)$.
Omdat $f(c) \neq 0$ is $\frac{1}{c-a} \leq \lambda$.

Als we dan $ c \to a$ laten gaan, dan blijft het voorgaande behouden omdat de functie daar ook stijgend blijft. Maar we zien dan dat $\frac{1}{c-a}$ naar oneindig gaat, en op een bepaald moment de constante $\lambda$ overtreft. Contradictie. Dus $f$ moet de nulfunctie zijn.

****
Met deze ideeen kan de oplossing iets duidelijker worden neergepend.
(om twijfels ivm $f(d)$<$f(c)$ etc weg te werken)
****
We verdelen het interval $[a,b]$ in $\lfloor{ \frac{|b-a|}{2 \lambda } +1 \rfloor} $
deelintervallen.
Dan geldt voor ieder deelinterval dat het van de vorm $[x,y]$ is, waarbij $|x-y|<\frac{1}{2\lambda}$ .
We bekijken de intervallen van links naar rechts en gaan inductief te werk, om aan de tonen dat $f([x,y])=0$.

Merk op dat $f(x)=0$ (per inductie en $f(a)=0$.
Veronderstel dat er een waarde $c \in [x,y]$ is zodat $f(c) \not = 0$, dan bestaat er een waarde $d \in [x,y]$ zodat $|f(d)|=sup\{ |f(t)| \big| t \in [x,y]\}$
( continu functie over begrensd en gesloten interval )

De middelwaardestelling van Lagrange dat er een $m$ in $]x,d[$ ligt, zodat $f'(m) (d-x) = f(d)-f(x)=f(d)$ .
Er geldt ook dat $f'(m) \le \lambda |f(m)| \le \lambda |f(d)| .$
Omdat $|d-x| \le |x-y|<\frac{1}{2\lambda} $ geldt dat $|f(d)|=|f'(m) (d-x)| \le \frac{|f(d)|}{2}$
Dit betekent dat $|f(d)|=0$
Alle functiewaarden over dit interval zijn dus $0$ en omdat dit inductief geldt voor ieder interval is $f(x)$ de nulfunctie over het totale interval.