Geldige ISBN
Opgave - VWO 2020 dag 1 vraag 2
In elk officieel uitgegeven boek stond vroeger een ISBN-code die bestond uit $10$ symbolen. De eerste negen, $a_1, a_2, ..., a_9$ zijn natuurlijke getallen tussen $0$ en $9$. De laatste, $a_{10}$, is ook zo'n getal, maar kan ook $X$ zijn, wat staat voor $10$. Voor een geldige ISBN-code geldt dat $a_1+2a_2+3a_3+...+10a_{10}$ deelbaar is door 11. Bewijs volgende uitspraken:
(a) Als er in een geldige ISBN-code één symbool vervangen wordt, is het resultaat geen geldige ISBN-code.
(b) Als er in een geldige ISBN-code twee verschillende symbolen van plaats worden verwisseld, is het resultaat geen geldige ISBN-code.
- login om te reageren
Oplossing
(a) We starten met een geldige ISBN-code $a_1 a_2 \cdots a_i \cdots a_{10}$ die "als som" heeft :
$$a_1 + 2a_2 + \cdots + ia_i + \cdots + 10a_{10}=11k$$
(waarbij $k$ een natuurlijk getal is.)
Indien hiervan een symbool $a_i$ wordt gewijzigd in een cijfer $l$, dan komt dit neer op een optelling van $11k$ met een term $i(l - a_i)$ (waarbij $i\in \{1, 2, \cdots , 10 \}$, $l \in \{0, 2, \cdots , X \}$).
De som wijzigt dus naar : $$11k+i(l -a_i)$$
$i$ is een natuurlijk getal strikt positief & kleiner dan $11$, & $(l- a_i)$ is strikt positief of negatief en absoluut kleiner dan $11$ (omdat $a_i \neq l$ en $a_i, l \in \{0, 1, \cdots, 10 \}$).
$11$ is een priemgetal & duikt dus als gevolg van het bovenstaande niet op in de priemfactoren van $i(l-a_i)$.
Hierdoor is $i(l -a_i)$ GEEN veelvoud van $11$, en is $$11k+i(l -a_i)$$ dat ook niet. Als gevolg is de nieuwe ISBN-code ongeldig. Quod erat demonstrandum.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(b) We starten met een geldige ISBN-code $a_1 a_2 \cdots a_i \cdots a_j \cdots a_{10}$ die "als som" heeft :
$$a_1 + 2a_2 + \cdots + ia_i + \cdots + ja_j + \cdots + 10a_{10}=11k$$
(waarbij $k$ een natuurlijk getal is.)
Verwisselen we nu de symbolen $a_i$ en $a_j$ (die nu beide deeluitmaken van de originele ISBN-code) met elkaar, dan komt dit neer op een optelling van $11k$ met een term $i(a_j -a_i) + j(a_i - a_j) = (i-j)(a_j - a_i)$.
Waardoor nu : $$a_1 + 2a_2 + \cdots + ia_j + \cdots + ja_i + \cdots + 10a_{10}=11k+(i-j)(a_j - a_i)$$
Maken we een gelijkaardige beredenering als bij (a)
[$i$ & $j$ zijn natuurlijke getallen strikt positief & kleiner dan $11$, de absolute waarde van hun verschil is dit dus ook (want $i \neq j$). En $|a_j - a_i|$ is dit ook (omdat $a_i \neq a_j$ en $a_i, a_j \in \{0, 1, \cdots, 10 \}$).
$11$ is een priemgetal & duikt dus als gevolg van het bovenstaande niet op in de priemfactoren van $(i-j)(a_j -a_i)$.]
dan kunnen we stellen dat $(i-j)(a_j -a_i)$ GEEN veelvoud is van $11$. We kunnen dus besluiten dat ook $$11k + (i-j)(a_j -a_i)$$ GEEN veelvoud is van $11$ en dat de nieuwe ISBN-code dus ongeldig is. Quod erat demonstrandum.