p,q,11,17 priem

De enige oplossing is $(p,q)=(3,3)$.

1. $p$ is oneven:

   Stel dat $p=2$.
   Dan zien we dat $11^2+17^2=410=2\cdot5\cdot41$ en $3\cdot2^{10}+1>410$.
   Testen we nu de gevallen met $q\in\{2,3,5,7\}$, dan vinden we geen oplossingen.

Zij nu $r$ een priemgetal zodat $r\mid3p^{q-1}+1\mid11^p+17^p$.
Dan is duidelijk $r\neq11$ en $r\neq17$.

Zij dus $17^{-1}$ de inverse van $17$ modulo $r$.
Dan is
$$11^p\equiv -17^p\pmod r$$
$$\Leftrightarrow \left[11\cdot17^{-1}\right]^p\equiv -1\pmod r$$

Zij nu $d=\text{ord}_r\left(11\cdot17^{-1}\right)$.
Dan is $d\not\mid p \wedge d\mid2p \Rightarrow d\in\{2,2p\}$.

• Als $d=2$, dan is $121\equiv289\pmod r \Leftrightarrow r\mid168=2^3\cdot3\cdot7 \Leftrightarrow r\in\{2,7\}$. (het is duidelijk dat $r\neq3$)
• Als $d=2p$, dan is $2p\mid\phi(r)=r-1 \Leftrightarrow r\equiv1\pmod{2p}$

Bijgevolg is $$3p^{q-1}+1=2^\alpha7^\beta\prod_{i=1}^np_i^{a_i}\text{ }\text{ }\text{ (1)}$$
waarbij alle $p_i\equiv1\pmod{2p}$.

[=2]

[/]

Bekijken we nu (1) modulo $2p$, dan zien we dat $p\equiv3p^{q-1}\equiv27\pmod{2p}$ of $p\equiv3p^{q-1}\equiv3\pmod{2p}$.

• In het eerste geval is $p≤13\vee p=27$.
  Het tweede is duidelijk onmogelijk, en in het andere geval moet $p \mid 27$, i.e. $p=3$.
• In het tweede geval vinden we op analoge wijze dat $p=3$.

Nu zien we dat $3\cdot3^{10}+1>11^3+17^3=28\cdot(121-187+289)=2^2\cdot7\cdot223$.
Bekijken we alle gevallen $q\in\{2,3,5,7\}$, dan vinden we dat $q=3$ de enige oplossing is.