Two pair or full street?

Opgave - JEMC 2018 dag 1 vraag 2

Vind alle paren $(x, y)$ van natuurlijke getallen waarvoor geldt dat
\[xy \mid x^2 + 2y - 1.\]

Oplossing

Uit de opgave volgt dat $x \mid x^2+2y-1$ en dus $x \mid 2y-1$. Er bestaat dus een $A \in \mathbb{N}$ zodat $Ax=2y-1$ ofwel $y=\frac{Ax+1}{2}$ (noem dit $(1)$).
Wanneer we dit invullen in de opgave, krijgen we $x\left(\frac{Ax+1}{2}\right) \mid x^2+Ax = x(x+A)$. Hieruit volgt dat $Ax+1 \mid 2(x+A)\geq 1$. We weten dat $Ax+1\geq 1$, $2(x+A)\geq2$ en aangezien de absolute waarde van een getal altijd groter is dan of gelijk is aan de absolute waarde van zijn delers, volgt er dat $Ax+1\leq 2(x+A)$. Dit kunnen we herschrijven als $1\leq \frac{Ax+1}{x+A}\leq2$. Nu zijn er twee mogelijkheden; $\frac{Ax+1}{x+A}=1$ en $\frac{Ax+1}{x+A}=2$.

Wanneer $\frac{Ax+1}{x+A}=1$, is $Ax+1=x+A$ ofwel $0=(x-1)(A-1)$. Nu is $x=1$ of $A=1$. Zij $x=1$, dan vinden we de oplossing $(1,k)$ waarbij $k$ een willekeurig natuurlijk getal strikt groter dan $0$ is. Wanneer $A=1$ vinden we aan de hand van $(1)$ dat $x=2y-1$. Stel $k=y$, dan is $x=2k-1$. Op deze manier vinden we de oplossing $(2k-1,k)$ waarbij $k$ een willekeurig natuurlijk getal strikt groter dan $0$ is.

Wanneer $\frac{Ax+1}{x+A}=2$, is $Ax-2(A+x)+1=0$ en dus $(x-2)(A-2)=Ax-2(x+A)+2^2=3$. Dus $x-2 \in \{-3, -1, 1, 3\}$.
Laat $x-2=-3$ met $x=-1$ wat niet kan, want $x\in \mathbb{N}_0$.
Zij $x-2=-1$, dan is $x=1$ en $A-2=-3$ met $A=-1$ wat niet kan, want $A \in \mathbb{N}_0.$
Neem $x-2=1$ met $x=3$. Dan is $A-2=3$ en $A=5$. Wanneer we dit invullen in $(1)$, krijgen we dat $y=8$. Dit geeft ons de oplossing $(3,8)$.
Als $x-2=3$ met $x=5$, dan is $A-2=1$ en $A=3$. Wanneer we dit invullen in $(1)$, krijgen we dat $y=8$. Dit geeft ons de oplossing $(5,8)$.

Bij opsomming; de verzameling van alle gevraagde koppels $(x,y)$ is $\{(1,k),(2k-1,k),(3,8),(5,8)\mid k \in \mathbb{N}_0\}$.