twee gelijke

We bewijzen dit vanuit het ongerijmde; neem dus aan dat $a$, $b$ en $c$ allemaal verschillende reële getallen verschillend van $0$ zijn.

We herschrijven de opgave
$a^3+ab+ac=1$ (dit noemen we $A$),
$b^3+ab+bc=1$ (dit noemen we $B$),
$c^3+ac+bc=1=c^3+c(a+b)$ (dit noemen we $C$).

We trekken $B$ van $A$ af en we krijgen
$a^3-b^3+ac-bc=0$. Merk op dat $a^3-b^3+ac-bc=(a-b)(a^2+ab+b^2)+c(a-b)$. Nu kunnen we een factor $a-b$ afzonderen, dan krijgen we $(a-b)(a^2+ab+b^2+c)$. Nu is ofwel $a-b=0$ of $a^2+ab+b^2+c=0$. $a-b=0$ kan niet, want dan zou $a=b$ en we hebben in het begin van het bewijs aangenomen dat $a\neq b$. Bijgevolg is $a^2+ab+b^2+c=0$ (noem dit $D$).

Op analoge wijze vinden we ook dat $b^2+bc+c^2+a=0$ (noem dit $E$) en dat $c^2+ac+a^2+b=0$.
Wanneer we $E$ van $D$ aftrekken krijgen we
$a^2+ab-bc-c^2+c-a=0$ ofwel $(a-c)(a+c) +b(a-c)-(a-c)=0$. Nu kunnen we de factor $(a-c)$ afzonderen en dan krijgen we $(a-c)(a+b+c-1)=0$. Nu is ofwel $a-c=0$ of $a+b+c-1=0$. $a-c=0$ kan niet, want we hebben in het begin van het bewijs aangenomen dat $a \neq c$. Bijgevolg is $a+b+c-1=0$ ofwel $a+b=1-c$. Wanneer we dit laatste invullen in $C$, krijgen we
\begin{align*}
0&=c^3+c(1-c)-1 \\
&=(c-1)(c^2+c+1)+c(1-c) \\
&=(c-1)(c^2+1)=0
\end{align*}
Aangezien $c^2+1=0$ duidelijk onmogelijk is, volgt er dat $c=1$.

Op analoge wijze vinden we ook dat $a=1$ en $b=1$. Aangezien dan $a=b=c=1$ en we in het begin van het bewijs hebben aangenomen dat $a$, $b$ en $c$ allemaal verschillend waren, hebben we een contradictie. Dit betekent dat er minstens twee van $a$, $b$ en $c$ gelijk zijn. Dit bewijst het gevraagde.