Matko kent geen Nederlands
Opgave - EMC 2015 dag 1 vraag 3
Circles $k_1$ and $k_2$ intersect in points $A$ and $B$, such that $k_1$ passes through the center $O$ of the circle $k_2$. The line $p$ intersects $k_1$ in points $K$ and $O$ and $k_2$ in points $L$ and $M$, such that the point $L$ is between $K$ and $O$. The point $P$ is orthogonal projection of the point $L$ to the line $AB$. Prove that the line $KP$ is parallel to the $M$-median of the triangle $ABM$.
- login om te reageren
Oplossing
Laat $N$ het middelpunt van $[AB]$ zijn. En laat $T = KM \cap AB$.
Dan hebben we dat $\angle ONA = 90$, en ook $\angle LPT = 90$, dus $\angle ONT = \angle LPT$. Daar ook $\angle OTN = \angle LTP$ vinden we (wegens HH) dat
$$\triangle TLP \sim \triangle TON
\Rightarrow \frac{|TL|}{|TP|} = \frac{|TO|}{|TN|} \iff \frac{|TL|}{|TO|} = \frac{|TP|}{|TN|}$$
Merk op dat $AB$ de machtslijn is van $k_1$ en $k_2$
\begin{equation*}
\begin{split}
&\Rightarrow Pow_{k_1}(T) = Pow_{k_2}(T)\\
&\iff |TK|\cdot|TO| = |TL|\cdot|TM|\\
&\iff \frac{|TL|}{|TO|} = \frac{|TK|}{|TM|}\\
&\iff \frac{|TP|}{|TN|} = \frac{|TK|}{|TM|}\\
&\iff \frac{|TP|}{|TK|} = \frac{|TN|}{|TM|}
\end{split}
\end{equation*}
Dan omdat $\frac{|TP|}{|TK|} = \frac{|TN|}{|TM|}$ en omdat $\angle NTM = \angle PTK$.
\begin{equation*}
\begin{split}
\triangle TNM \sim \triangle TPK &\Rightarrow \angle TNM = \angle TPK
&\Rightarrow KP \parallel NM
\end{split}
\end{equation*}
Dus we zijn klaar.
Opmerking: $Pow_{o}(P)$ is de macht van punt $P$ op cirkel $o$.