vraag van Tomi Dimovski

Aangezien $\text{ggd}(2,5)=1$ volstaat het te bewijzen dat voor willekeurige oneven natuurlijke getallen $n$ en $m$ geldt dat $x^ny^m-x^my^n$ deel baar is door $2$ en door $5$.

deelbaarheid door 2

Merk op dat voor elk natuurlijk getal $k \ge 1$ geldt dat $x^k \equiv x \pmod 2$ en bijgevolg is $x^ny^m-x^my^n \equiv xy-xy \equiv 0 \pmod 2.$

Aan deze voorwaarde is dus altijd voldaan.

deelbaarheid door 5

Zonder verlies van algemeenheid kunnen we stellen dat $n \ge m$.

Indien er een getal in $A$ zit dat een veelvoud van $5$ is, kunnen we dit getal kiezen voor $x$: $5 \mid x$ en dus $5 \mid x^ny^m-x^my^n .$

In het andere geval zullen $a^2, b^2, c^2 \pmod 5 \in \{1,4\}$ en minstens twee van hen hebben dus gelijke rest modulo $5$.
Neem deze waarden voor $x,y$.
Aangezien $m$ en $n$ oneven zijn, zal $n-m=2k$ even zijn.
Merk op dat $x^ny^m-x^my^n = (xy)^m \left((x^2)^k-(y^2)^k\right) \equiv 0 \pmod 5$ wegens de keuze dat $x^2 \equiv y^2 \pmod 5.$

We concluderen dat het dus steeds mogelijk is om twee (verschillende) elementen uit $A$ te kiezen waarvoor zowel deelbaarheid door $2$ als $5$ geldt, waarmee de vraag bewezen is.