2 keer 45 graden
Opgave - JWO 2016 dag 1 vraag 1
Een scherphoekige, gelijkbenige driehoek $\triangle ABC$ heeft top B. Een punt P ligt op [BC]
zodanig dat $\hat{CAP} = 45^{\circ}$. De middelloodlijn van [AP ] snijdt de zijde [AB] in Q. Bewijs dat PQ loodrecht staat op BC.
- login om te reageren
Oplossing
Stel M het midden van AP en gezien de middelloodlijn constructie geldt dat $\triangle AQM \cong \triangle PQM$ wegens $ZHZ$, want
$|MP|=|MA|$, $\angle AMQ =\angle PMQ$, $|QM|=|QM|$.
Stel $\angle BAC= \alpha$, dan zal $\angle BCA= \alpha$ (basishoeken gelijk) en $\angle ABC= 180^{\circ}- 2\alpha$ (som van de hoeken van een driehoek is $180$).
In driehoek AQM geldt
$\angle AQM = 180-90-(\alpha-45) = 135-\alpha$
Dit betekent dat
$\angle BQP = 180 -\angle AQM - \angle PQM =180-2(135-\alpha) =2 \alpha - 90.$
We concluderen dat
$\angle BPQ = 180- \angle BQP -\angle ABC= 180-(180-2\alpha)-(2 \alpha - 90)=90,$
i.e. $BP \perp PQ$.
Q.E.D.
We tekenen R op [AB] zodanig dat <ACR = 45°
Door de hoekensom in driehoek ABC is <BAP + <ABC + <BCR = 90 ° (1)
Dit omdat $\angle PAC$ en $\angle ACR$ beide $45^{\circ}$ zijn.
<APC is een buitenhoek van driehoek APB.
Gevolg: <BAP + <ABC = <APC
In driehoek AQP noemen we het voetpunt van de middelloodlijn van [AP] M.
Driehoek AMQ ≅ Driehoek PMQ volgens ZHZ
In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige hoeken even groot. Hieruit volgt dat <PAQ = <APQ
<PAQ = <BCR omwille van de gelijkbenige driehoek ( want als <A = <B, dan is <A - 45° = <B-45°) (2)
<QPC = 90° omdat <QPC= <APC+<APQ
<APC = <BAP + <ABC en <APQ = <PAQ = <BCR (2) en in (1) hebben we aangetoond dat <BAP + <ABC + <BCR = 90 °, dus is <QPC = 90°
Hieruit volgt dat PQ ⊥ BC
Q.E.D.