# palindromen

Stel abcd-dcba=αββα. $(*)$
Er moet gelden dat a>d want anders wordt αββα een negatief getal (of op zijn minst een getal kleiner dan 1000, wat niet mag omdat het een getal van vier cijfers moet zijn).
Hierbij zijn ook a en d groter dan 0, omdat abcd en dcba getallen van vier cijfers moeten zijn.

Merk op dat $d-a<0$ en gelijkheid $(*)$ geeft dat $d-a+10=$α zal moeten gelden.
Afhankelijk van de verhouding tussen $b$ en $c$ zijn er nu twee mogelijkheden:

Geval i als b>c (en a>d):
Kijkend naar de duizendtallen, zien we dat a-d=α (1.).
Daar ook $d-a+10=$α, weten we dat $a-d=d-a+10$. Na het uitwerken van deze gelijkheid bekom je $a-d=5.$
Geval ii als $b \le c$ (en a>d):
We verkrijgen ditmaal analoog dat a-1-d=α=d-a+10, na het uitwerken van de vergelijking bekom je a-5.5=d, wat niet kan, aangezien a en d beide natuurlijke getallen zijn.

Dus a-d=5 en b>c.
Als we vervolgens naar de honderdtallen en de tientallen kijken, krijg je
b-c-1=c-b-1+10=β (2.), want b>c en a>d. Na het uitwerken van de vergelijking bekom je b-c=5 (3.).

Dus:

a-d=α (zie 1.), a-d=5 (zie besluit i), dus α=5.

b-c-1=β (zie 2.), b-c=5 (wegens (3.)), dus β=4.

Dus αββα=5445 is het enige mogelijke palindroomgetal.

Dit getal werkt ook wel degelijk, want bvb. $6611-1166=5445$.