Tekeningetjes à volonté, Olympia doet niet mee

Stel dat de wijk de afmetingen a en b heeft en dat alle mogelijke straatdelen aangelegd zijn. Dan geldt: S = a + b + 2, V = (a-1)(b-1) en H = a.b Dan geldt inderdaad dat S+V-H = 3.

Als we nu een wijk hebben met ontbrekende straatdelen, dan kunnen we kijken wat er gebeurt als we een ontbrekende straat aanleggen.

(a) we leggen een straat aan tussen twee T-kruispunten. Dan geldt S -> S-1 (twee straten worden één straat), V -> V+2 (twee T-kruispunten worden vierarmenkruispunten) en H -> H+1 (een huizenblok wordt gesplitst in twee huizenblokken). S+V-H blijft gelijk.

(b) we leggen een straat aan tussen een doorgaande straat en een T-kruispunt. Dan geldt: S -> S (een straat wordt langer), V -> V+1 (een T-kruispunt wordt een vierarmenkruispunt) en H -> H+1. S+V-H blijft gelijk.

(c) we leggen een straat aan tussen twee doorgaande straten. Dan geldt: S -> S+1 (een nieuwe straat), V -> V (twee doorgaande straten worden twee T-kruispunten) en H -> H+1. S+V-H blijft gelijk.

We zien dus dat de waarde $S+V-H$ niet verandert bij het aanleggen van nieuwe straten.

Start nu met een willekeurige wijk.
We voegen alle ontbrekende straten toe.
Aangezien de waarde $S+V-H$ niet verandert is bij het aanmaken van de extra straten en die op het einde de waarde $3$ heeft, is dit ook zo in het begin.
Conclusie; Voor elke wijk geldt dat $S+V-H=3$.