up to e and beyond?

Opgave - BrMO 2 2017 dag 1 vraag 2

Zij $(a_n)_n$ een rij gedefinieerd door
$$a_n=\frac1n \cdot \sum_{k=1}^n \left \lfloor \frac nk \right\rfloor $$
voor alle $n \ge 1$.
Bewijs dat er oneindig veel $n$ zijn zodat $a_n$ < $a_{n+1}$.
Zijn er ook oneindig veel $n$ zijn waarvoor $a_n$ > $a_{n+1}$?