"koordenvierhoek", i.e. cyclic quadrilateral, part 2
Opgave - BrMO 2 2017 dag 1 vraag 3
Zij $ABCD$ een koordenvierhoek waarvan de diagonalen snijden in $P$ en de rechten $AD$ en $BC$ snijden in $Q$.
De (binnen)bissectrice van $\angle BQA$ snijdt $AC$ in $R$ en
de (binnen)bissectrice van $\angle APD$ snijdt $AD$ in $S.$
Bewijs dat $CD \parallel RS$.
- login om te reageren
Oplossing
In dit bewijs zal ik naar $\left | XY \right |$ verwijzen met $XY$.
(1) Uit de stelling van Thales volgt dat $CD \parallel RS \Leftrightarrow \frac{AR}{CR}=\frac{AS}{DS}$ . Dit zullen we dus bewijzen.
(2) Merk op dat $\widehat{BAP}=\widehat{PDC}$ en $\widehat{ABP}=\widehat{PCD}$ (omtrekshoeken op dezelfde boog zijn gelijk), waaruit volgt dat $\Delta ABP \sim \Delta DCP$, waaruit volgt dat $\frac {PA}{PD}=\frac{AB}{CD}$. Omdat volgens de bissectricestelling geldt dat $\frac{PA}{PD}=\frac{AS}{DS}$, geldt dus dat $\frac{AS}{DS}=\frac{AB}{CD}$.
(3) Merk op dat $\widehat{QDC}=180°-\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$ ($ABCD$ is een koordenvierhoek). Analoog: $\widehat{DCQ}=\widehat{BAD}$. Hieruit volgt dat $\Delta DCQ \sim BAQ \Rightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{AQ}{CQ}$. Omdat uit de bissectricestelling volgt dat $\frac{AQ}{CQ}=\frac{AR}{CR}$, geldt dus dat $\frac{AR}{CR}=\frac{AB}{CD}$.
(4) Uit (2) en (3) volgt dat $\frac{AR}{CR}=\frac{AS}{DS}$. Klaar wegens (1). Q.E.D.