vraag 1 is geen vraag 1 meer

Opgave - BxMO 2017 dag 1 vraag 1

Bepaal alle functies $f \colon \mathbb{Q}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}$ waarvoor geldt dat
$$f(xy) \cdot \mathrm{ggd}\Big(f(x)f(y), f(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y})\Big) = xyf(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y})$$
voor alle $x, y \in \mathbb{Q}_{>0}$, waarbij $\mathrm{ggd}(a,b)$ staat voor de grootste gemene deler van $a$ en $b$.

Oplossing

Met $P(x,y)$ noteren we de gegeven functiegelijkheid.

Stap 1: $f(1)=1$.
$P(1,1)\Rightarrow f(1)\gcd(f(1)^2,f(1)^2)=f(1)^2\Rightarrow f(1)f(1)^2=f(1)^2\Rightarrow f(1)=1$

Stap 2: $\gcd(f(x),f(\frac1x))=1$.
Uit $P(x,1)$ volgt $ f(x)\gcd(f(x),f(\frac1x))^2=xf(\frac1x)\gcd(f(x),f(\frac1x))$,
wat wegens $P(\frac 1x, 1)$ gelijk is aan $x\frac1xf(x) =f(x)\Rightarrow \gcd(f(x),f(\frac1x))=1$

Stap 3: $f(x)=xf(\frac1x)$
$f(x)=f(x)\gcd(f(x),f(\frac1x))=xf(\frac1x)$ (wegens $P(x,1)$ opnieuw)
Dus als $x\in Z$ dan $f(x)=x$ en $f(1/x)=1$.

Stap 4: voor $a,b\in N$ geldt $f(\frac{a}b) = \frac{a}{\gcd(a,b)}$

$P(a, 1/b)$ geeft
$f(\frac{a}b)\gcd(f(a)f(\frac1b),f(\frac1a)f(b)) = \frac{a}bf(\frac1a)f(b)$
$f(\frac{a}b)\gcd(a,b) = a$
$f(\frac{a}b) = \frac{a}{\gcd(a,b)}$

Elk rationaal getal $q$ kan geschreven worden als $\frac ab$ met $\gcd a,b = 1$.
We tonen nu aan dat de functie die $f(q)=a$ voor elk rationaal getal $q$ met corresponderende schrijfwijze, ook wel degelijk werkt.

Stel hiervoor $x= \frac ab$ en $y= \frac cd$ met $a,b$ en $c,d$ getallen die relatief priem zijn.

Dan krijgen we dat moet gelden dat $f( \frac{ac}{bd}) \cdot \gcd( ac, bd)=acbd$, wat inderdaad zo is voor alle keuzes.
Dit is dus de unieke functie die aan de gegeven functiegelijkheid voldoet.

Q.E.D.