een hoek zoeken
Opgave - VWO 2017 vraag 2
In driehoek $\triangle ABC$ is $\angle A = 50^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$ en $\angle C $ ra ra ra, $ 70^{\circ}$.
Het punt $P$ ligt op de zijde $[AB]$ met $P$ niet gelijk aan $A$ of $B$.
De ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$ snijdt de ingeschreven cirkel van $\triangle ACP$ in de punten $U$ en $V$ en snijdt de ingeschreven cirkel van $\triangle PBC$ in de punten $X$ en $Y$. De rechten $UV$ en $XY$ snijden elkaar in $K$. Wat is de hoek $\angle UKX$?
- login om te reageren
Oplossing
Noem de middelpunten van de ingeschreven cirkel van $\Delta ABC$, $\Delta ACP$ en $\Delta BPC$ $I_1$, $I_2$ en $I_3$ resp. Zij $R$ het voetpunt van de loodlijn uit $K$ op $AB$. Zij $F$ en $G$ de snijpunten van $I_2 A$ en $UV$ en van $I_3 B$ en $XY$ resp. Zij $H$ en $J$ de snijpunten van $UV$ en $AB$ en van $XY$ en $AB$ resp.
Merk op dat $A$, $I_2$, $F$ en $I_1$ collineair zijn omdat $I_1$ en $I_2$ om triviale redenen beiden op de bissectrice van $\widehat A$ liggen, en $F$ vanwege de manier waarop het punt gedefiniëerd is. Hieruit volgt dat $UV \perp F A$, omdat $FA=I_2 I_1$ de centraal van deze twee ingeschreven cirkels is en de verbindingslijn van de snijpunten van twee cirkels staat altijd loodrecht op de centraal. Op dezelfde manier: $ XY \perp BG$.
Hieruit volgt dat $\widehat {HFA}=\widehat{BGJ}=90°$. Nu geldt dus dat $\Delta BGJ \sim JRK$, want $\widehat {KRJ}=\widehat{BGJ}=90°$ en $\widehat{BJG}=\widehat{KJR}$. Analoog: $\Delta FHA \sim \Delta RHK$.
Hieruit volgt dat $\widehat{UKX}=\widehat{RKH}+\widehat{JKR}=\widehat{FAH}+\widehat{GBJ}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\frac{110°}{2}=55°$.
Zij $I$ het incentrum van $\Delta ABC$, $I_1$ van $\Delta CPA$ en $I_2$ van $\Delta CPB$.
Zij $S$ het snijpunt van $AI$ en $UV$ en $T$ van $BI$ en $XY$. Merk op dat $S \in II_1$ en $T \in II_2$ omdat incentra op bissectrices liggen.
Aangezien $II_1\perp UV$ en $II_2\perp XY$, is $ISKT$ cyclisch.
Bijgevolg is $$\angle UKX = 180°-\angle SIT = 180°-\angle AIB = 180°-(180°-25°-30°)=55°$$