dit is geen meetkunde !?
Opgave - VWO 2017 vraag 1
Op de parabool $y=x^2$ liggen drie verschillende punten $P,Q$ en $R.$
Hun loodrechte projecties $P',Q'$ en $R'$ op de x-as liggen op gelijke afstand $s$ uit elkaar:
$|P'Q'|=|Q'R'|=s$. Bepaal de oppervlakte van $\Delta PQR$ in functie van $s$.
- login om te reageren
Oplossing
Ste de oppervlakte voor door S.
Zonder verlies van de algemeenheid kunnen we nu stellen dat punten $P, Q$ en $R$ in die volgorde op de parabool liggen (want $Q'$ moet in het midden van $P'$ en $R'$ liggen). Stel $P=(p, p^2)$, $Q=(q,q^2)$, $R=(r, r^2)$. Dan geldt dat $\left | P'Q' \right |=q-p=\left | Q'R' \right |=r-q=s$. Merk het volgende op: $S=S_{P'PRR'}-S_{Q'QRR'}-S_{P'PQQ'}=\frac{(p^2+r^2)2s}{2}-\frac{(q^2+r^2)s}{2}-\frac{(q^2+p^2)s}{2}$
$=\frac{s(r^2+p^2-2q^2)}{2}=\frac{s((r-q)(r+q)-(q-p)(q+p))}{2}=\frac{s^2(r-p)}{2}=\frac{2s^3}{2}=s^3$.