getallen afleiden

We beginnen met twee rekenregels voor het afgeleid getal te bepalen.

(1): Beschouw het getal $n=p^k$ waarbij $p$ priem is. Dan $n=p*p^{k-1}$ en dus $n'=p^{k-1}+p(p^{k-1})'$.
Per inductie op $k$, is dan $n'=kp^{k-1}$.

(2): Beschouw het getal $n=x_1 x_2 x_3...x_k$. Nu geldt dat $n'=x_1'x_2 x_3...x_k+x_1(x_2...x_k)'=\sum_{cycl} x_1'x_2 x_3...x_k$. (eveneens per inductie op $k$)

Nu leiden we een algemene formule af voor $n'$ aan de hand van de priemfactorisatie van $n$>$0$. Stel $n=p_1^{q_1} p_2^{q_2}...p_k^{q_k}$, waarbij $p_1,p_2,...,p_k$ priem zijn en $p_1$<$p_2$<$p_3$<...<$p_k$, en $q_1,q_2,...,q_k\in \mathbb N_0$. Dan $n'=\sum_{cycl} (p_1^{q_1})'p_2^{q_2}...p_k^{q_k}=\sum ^k_{i=1} q_i p_i^{q_i-1} \frac{n}{p_i^{q_i}}=n \sum^k_{i=1}\frac{q_i}{p_i}$.

Hieruit volgt dat $n=n'$ als en slechts dan als $\sum^k_{i=1}\frac{q_i}{p_i}=1$. Omdat alle factoren positief zijn, kan dit enkel gelden als $q_i\leq p_i \forall i \in \mathbb N$. We herschrijven deze vergelijking als $\sum_{i=1}^k \frac {q_i p_1 p_2 ... p_k}{p_i}=p_1 p_2...p_k$. Bekijk deze vergelijking modulo $p_k$. Hieruit volgt dat $q_k p_1 p_2 ...p_{k-1} \equiv 0 \pmod{ p_k }$. Omdat $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ priemgetallen niet gelijk aan $p_k$ zijn, is dit hetzelfde als $q_k \equiv 0 \pmod{ p_k}$, waaruit volgt dat $p_k \mid q_k$. Maar omdat $q_k \leq p_k$ en $q_k >0$, kan dit enkel als $p_k=q_k$, maar dan $\frac{q_k}{p_k}=1$, waardoor alle andere priemfactoren wegvallen. Hieruit volgt dat de enige $n$ waarvoor dit geldt per definitie $0$ is en alle getallen van de vorm $p^p$, met $p$ priem.