2 bollen in een kubus

Tags:

Opgave - VWO 1986 vraag 4

Gegeven een (holle) kubus waarin 2 massieve bollen van straal 1 passen.
Wat is de kleinst mogelijke waarde voor de lengte van de zijde van die kubus?
Bewijs dat je antwoord minimaal is.

Oplossing

Zij $K$ de optimale kubus $[0,z]^3.$
Vorm de kubus $K'=[1,z-1]^3.$
Merk op dat de twee middelpunten van de bollen beide in $K'$ liggen en deze op afstand minimum $1+1=2$ liggen.
De langste afstand in een kubus wordt gevormd door de diagonaal, deze van $K'$ heeft een lengte $\sqrt{3}(z-2)$.
Dit betekent dat $\sqrt{3}(z-2) \ge 2$, i.e. $z \ge \frac{2 \sqrt 3}{3} +2$.
Gelijkheid geldt duidelijk wanneer je de middelpunten effectief op tegenovergestelde hoekpunten van $K'$ plaatst voor deze waarde van $z$.