toen was de VWO vrij gelimiteerd

Opgave - VWO 1987 vraag 4

Bekijk
$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1^p+2^p+...+(n-1)^p+n^p+(n-1)^p+...+2^p+1^p}{n^2}$$

A) Bewijs dat de limiet voor $p>1$ gelijk is aan $+\infty$.
B) Wat als $p=1$?

Oplossing

A) voor $p>1$ is de gegeven limiet groter dan
\begin{align*}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1^p+2^p+...+(n-1)^p+n^p}{n^2}&>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{k+1}x^{p}dx\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{p-1}}{p+1}\\&=\infty\end{align*}
B) voor $p=1$ vereenvoudigt het deel binnen de limiet altijd tot 1, de limiet is dus 1.