Waar zijn al die continue functies?

Opgave - VWO 1987 vraag 3

Vind alle continue functies $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ waarvoor geldt

\[ f(x)^3 =-\frac {x}{12}\cdot\left(x^2+7x\cdot f(x)+16\cdot f(x)^2\right),\ \forall x\in\mathbb{R}. \]

Oplossing

We zien dat $f(0)=0$. Stel nu dat $x\ne 0$. We delen de gegeven vergelijking door $x^3$:
\[\left (\frac{f(x)}{x}\right )^3=\frac{-1}{12}\left (1+7\frac{f(x)}{x}+16\left (\frac{f(x)}{x}\right )^2\right )\]
Als we $\frac{f(x)}{x}$ gelijkstellen aan $y$, vinden we
\begin{align*}
& 12y^3+16y^2+7y+1=0\\
\Leftrightarrow & \left (y+\frac{1}{2}\right )^2\left (y+\frac{1}{3}\right )=0\\
\Leftrightarrow & y=\frac{-1}{2} \vee y=\frac{-1}{3}
\end{align*}
Dus voor elke $x$ geldt dat $f(x)=\frac{-x}{2}$ of $f(x)=\frac{-x}{3}$.
Als we dit controleren zien we dat dit inderdaad oplossingen zijn.

Er zijn $4$ continue functies die hieraan voldoen, deze zijn van de vorm (indicatorfuncties gebruikt in de schrijfwijze)
$f(x)= a x \cdot 1_{
x<0} + bx \cdot 1_{ x \ge 0}$ met $a,b \in \{ -\frac 12, - \frac 13 \}.$