Som van kwadraten

Opgave - IrMO 2010 vraag 2

Vind (met bewijs) de kleinste $k$ zodat $2010$ kan uitgedrukt worden als som van $k$ kwadraten.

Oplossing

Het is (relatief) gemakkelijk om een voorbeeld te vinden van 3 kwadraten die 2010 als som hebben. Bekijken we nu het grootste kwadraat kleiner dan 2010, 44² ofwel 1936, dan blijft er nog 74 over. Aangezien 74 = 25 + 49, 2010 = 5² + 7² + 44².

Nu bewijzen we dat 2010 niet de som van 2 kwadraten kan zijn. Merk op dat 2010 congruent is met 3 modulo 9. Echter, ieder kwadraat is congruent met 0, 1, 4 of 7 modulo 9. Men ziet dan onmiddellijk in dat de mogelijke sommen van 2 kwadraten enkel congruent kunnen zijn met 0, 1, 2, 4, 5, 7 of 8 modulo 9. Omdat 2010 zelf ook geen kwadraat is betekent dit dat k minstens 3 is.