ongelijk
Opgave - BaMO 2014 dag 1 vraag 1
Wanneer $x,y,z$ $\in \mathbb R^+$ zodat $xy+yz+xz=3\cdot xyz$
Bewijs dat $x^2y+y^2z+z^2x \ge 2(x+y+z)-3$ en vind alle gevallen waarin gelijkheid geldt.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 0 gasten online.
Oplossing
Vermeerdert eerst beide leden met 3, vermenigvuldig vervolgens beide leden met $xyz$ en vervang $3xyz$ met de som die gegeven werd. Nu geldt er dat $x^3y^2z+xz$ $\geq$ $2x^2yz$ wegens AM-GM. Dit kun je ook doen voor y en z. Als je nu alle ongelijkheden bij elkaar optelt, verkrijg je de gevraagde ongelijkheid.